1次関数の式の求め方〜1次関数は1時間でわかる！映像が見えるように考えるのがコツ！〜
問題１ 次の条件をみたす1次関数を求めなさい。 x=-3,のときy=-2 , x=1のときy=10
問題２ 1次関数 ｙ＝２ｘ＋５で、 xの値が2から8まで増加したときのyの増加量を求めなさい。
1次関数のよくある問題ですね。 この問題ですが、分からない人にとっては本当にわからない問題です。しかしながら、分かる人にとっては、超簡単なのです。 今回は、1次関数の式の意味が分かるように目標1時間で理解できる学習ブログを作ってみましたので是非参考にしてください。
式をみて表を作ってみよう
まずは関数の式の見方について確認してみましょう。
ｙ＝５ｘの表を作ってみよう。
この表の空欄に入る数字が分かりますか。
ｙ＝５ｘ を日本語で表すと
「ｘを5倍するとｙになる」という意味です。
日本語と英語ののように犬もdogも同じものです。 書き方が異なるだけで意味は同じと思ってください。
したがって、 ｘが１のときは、１を5倍して５
ｘが２にときは ２を5倍して１０
ｘが３のときは ３を5倍して１５
とたての関係は「ｘを5倍するとｙになる」と日本語そのものとなっているのです。
このたての関係を対応といいます。
では、次にｙ＝２ｘ＋５についてやってみましょう。
日本語でいうと、「ｘを2倍して５をたすとｙになる」ということになります。
日本語にしたがって表を作ってみましょう。
ｘが１のときは、１を2倍して５をたすと( )
ｘが２にときは ２を2倍して５をたすと( )
ｘが３のときは ３を2倍して５をたすと( )
ｘの数に対応するｙの値が見えてきましたでしょうか。 答えは下の通りです。
では、次に1次関数の式について確認しましょう。 下の表を見てみてください。
①と②は表の特徴がにています。しかも、式の形もにています。 しかし、③はちょっと違います。しかも、式の形はにていません。
このように、表がにていると式もにてくるのです。
そして、①と②の式はｙ＝２ｘ＋５、ｙ＝３ｘ＋１と右側が1次の式となっています。 ですから、このような表の特徴で、このような式の形をしているものを1次関数と命名したのです。
教科書には、
2つの変数x,yについて,yがxの1次式で表されるとき,yはxの1次関数であるという。
1次関数は，一般に次のように表される。
y=ax+b
まずは、細かいことは無視して
1次関数はｙ＝〇ｘ＋△の形になる
ということを頭に残しておきましょう。
表をみて、1次関数の式を求めてみよう
今度は表をみて式を作ってみましょう。 下の表を見てください。すべて1次関数の表だとします。
式を作るためには、日本語のように考え、
ｘを・・・・・するとｙになる。
という文章を見つけようとするわけです。
①の場合は、ｘを2倍して３をたすとｙになるという日本語になります。
したがって、ｙ＝２ｘ＋３となります。
②の場合は、ｘを－３倍して１をたすとｙになるという日本語になります。
したがって、ｙ＝－３ｘ＋１となります。
たての関係でみて探せばいいのですが、結構やっかいですね。 しかし、このようなパターンを見ていくとなにやら、 ｙ＝〇ｘ＋△の〇や△が表に書いてあるのです。（〇は書いてないけど表から見えてくる）
みなさん、〇と△の数字がどこに隠れているかおわかりでしょうか。
○と△の見方を見つけ、慣れてしまえば、あっという間に1次関数もマスターできるのです。 みなさん自分で気づくことができましたか？では、どこを見ればいいかの解説です。
これをもとに①から④までできるかやってみよう。
答えは、
① y＝2x＋3 ② y＝−3x＋1 ③ y＝4x−3 ④ y＝3x＋7 となるわけです。教科書の問題などほとんどこのパターンで解くことができるのです。教科書の例題に書いてある解き方は、数が大きくなったり、数が小数、分数になった時などは必要ですが、やり方で覚えるのではなく、本来の意味をしっかりと理解することが重要なのです。
では、最初に出した問題を再確認しましょう。
問題１ 次の条件をみたす1次関数を求めなさい。 x=-3,のときy=-2 , x=1のときy=10
おわかりでしょうか。最初は意味の分からなかった問題も表に置き換えると式が簡単に見えてきます。
この問題は、x=-3,のときy=-2 , x=1のときy=10を表にしてみるとすぐにわかります。先ほどの④と同じ問題だということです。字で書かれている問題を表に変換して映像イメージで捉えると気持ち的にも簡単な問題となるわけです。
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変化の割合を理解しよう
表（映像）がみえると式がわかるということですが、数が大きくなったり、小数、分数の答えが出ちょっと限界があります。 そこで、変化の割合を知っておく必要があります。 教科書で変化の割合と書いてありますが、この意味が数学が苦手な人にとっては難問のようです。できるだけ、分かりやすく説明しましょう。
では、次の表を式にしてみましょう。
表を全部作っているときりがありませんね。 でも、ｙがどれくらいずつ変化していくのか計算で求められます。 そうです。小学校でやった１あたりの数を求めるように、ｘが1増えたときのｙの数を割り算で求めることができるのです。割り算で求めて、１あたりを出すから、名前を変化の割合と名付けたのです。割合という言葉からキーワードは割り算です。
そして、何の数でわるかというとｘがどれくらい増えたか（このことをｘの増加量という）、ｙがどれぐらい増えたか（このことをｙの増加量という）という数字が見えれば１あたりのｙの数が見えてくるのです。
これを式にすると
（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）
ということなのです。
そして、この変化の割合はｙ＝〇ｘ＋△の〇の数になっているのです。
では、変化の割合に関係する問題をやってみましょう。
問題２ 1次関数 ｙ＝２ｘ＋５で、 xの値が2から8まで増加したときのyの増加量を求めなさい。 じっくり考えてみてください。
初級編の解き方は表を作り、具体的な数を調べて求めます。
次に応用の解き方です。
これは、（ｙの増加量）＝a×（ｘの増加量）
で特問題です。公式だけを覚えるのではなく、映像イメージとしても見えるかどうか確認してください。
答えと解説をご覧ください。
いかがでしたか。これ以上、書きすぎると逆に混乱してしまうので、今回はこれで終わります。 いかに表などで映像イメージを作れるかがポイントです。何を求めるのか、どこを見ればいいのかがとにかくポイントです。
それでは、教科書や問題集の問題をやってみてください。問題の意味すらみえてこなかったのに、ある程度、問題をみると映像がみえてくることでしょう。
